大学物理 3-1 · 期末速查

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1. 振动

1.1 简谐振动判定与运动学

【题眼】回复力、微分方程、图像、初相、最大速度。

若 $$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0,$$ 则运动为简谐振动，标准解为 $$x=A\cos(\omega t+\varphi_0).$$ 三条核心关系： $$\begin{aligned} x&=A\cos(\omega t+\varphi_0),\\ v&=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0),\\ a&=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2x. \end{aligned}$$

【动作】图像题先代 $t=0$ 得 $x_0$，再求导得 $v_0$。$x_0$ 决定起点高度，$v_0$ 决定曲线开始向上还是向下。

1.2 由初始条件求振幅、初相

$$x_0=A\cos\varphi_0,\qquad v_0=-A\omega\sin\varphi_0.$$

$$A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2},\qquad \tan\varphi_0=-\frac{v_0}{\omega x_0}.$$

【易错】反正切只能给出参考角，必须结合 $x_0$、$v_0$ 的符号确定象限。旋转矢量第一、二象限速度为负，第三、四象限速度为正。

1.3 周期与典型振子

$$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}.$$

1.4 简谐振动能量

$$E_p=\frac12kx^2=\frac12kA^2\cos^2(\omega t+\varphi_0),$$ $$E_k=\frac12mv^2=\frac12kA^2\sin^2(\omega t+\varphi_0),$$ $$E=E_p+E_k=\frac12kA^2.$$

最常用占比： $$\frac{E_p}{E}=\frac{x^2}{A^2},\qquad \frac{E_k}{E}=1-\frac{x^2}{A^2}.$$

若 $x=\alpha A$，则 $E_p/E=\alpha^2$，$E_k/E=1-\alpha^2$。

1.5 同方向同频率振动合成

$$x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_{10}),\qquad x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_{20}).$$

合成后仍为同频简谐振动： $$x=A\cos(\omega t+\varphi_0),$$ $$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi}, \qquad \Delta\varphi=\varphi_{20}-\varphi_{10}.$$

$$\tan\varphi_0= \frac{A_1\sin\varphi_{10}+A_2\sin\varphi_{20}} {A_1\cos\varphi_{10}+A_2\cos\varphi_{20}}.$$

2. 波动

2.1 简谐波方程与传播方向

沿 $+x$ 传播： $$y=A\cos\left[\omega\left(t-\frac xu\right)+\varphi_0\right] =A\cos(\omega t-kx+\varphi_0).$$

沿 $-x$ 传播： $$y=A\cos\left[\omega\left(t+\frac xu\right)+\varphi_0\right] =A\cos(\omega t+kx+\varphi_0).$$

$$k=\frac{\omega}{u}=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad u=f=\frac1T,\qquad u=\lambda f.$$

【口诀】沿 $+x$：$t-x/u$；沿 $-x$：$t+x/u$。
【易错】波速由介质决定，频率由波源决定；换介质时通常 $f$ 不变，$u$ 与 $\lambda$ 改变。

2.2 同一列波上两点的相位差

固定时刻，两点间距为 $\Delta x$： $$|\Delta\varphi|=\frac{2\pi}{\lambda}|\Delta x|.$$

符号应由“谁先振动”判断：靠近波源的一点相位领先。

2.3 机械波质元的能量

• 动能与势能同步变化，且任意时刻大小相等；
• 质元经过平衡位置时，速度最大，同时形变也最大，所以动能、势能都最大；
• 单个质元的机械能不守恒，因为能量不断从相邻质元传入、传出。

【易错】不要把机械波质元与孤立弹簧振子的“动能、势能此消彼长”混为一谈。

2.4 波的干涉

相干条件：同频率、振动方向有平行分量、相位差恒定。

$$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi.$$

常用相位差： $$\Delta\varphi=\Delta\varphi_0-\frac{2\pi}{\lambda}(r_1-r_2).$$

$$\begin{cases} \Delta\varphi=2k\pi,&\text{加强},\\ \Delta\varphi=(2k+1)\pi,&\text{减弱}. \end{cases}$$

2.5 驻波

两列等振幅、同频率、反向传播的波： $$y_1=A\cos(\omega t-kx),\qquad y_2=A\cos(\omega t+kx),$$ 叠加得 $$y=2A\cos kx\cos\omega t.$$

$$|\cos kx|=1\Rightarrow x=n\frac{\lambda}{2}\quad(波腹),$$ $$|\cos kx|=0\Rightarrow x=(2n+1)\frac{\lambda}{4}\quad(波节).$$

驻波不向前传递能量；各点频率相同，但振幅随位置改变。

3. 光的干涉

3.1 折射、光程与半波损失

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

从光密到光疏才可能全反射： $$\sin C=\frac{n_2}{n_1}\quad(n_1>n_2).$$

介质中： $$v=\frac cn,\qquad \lambda'=\frac\lambda n,\qquad f\text{不变}.$$

光程： $$L=nl,\qquad L=\sum_i n_il_i,\qquad L=\int_A^B n\,dl.$$

相位差： $$\Delta\varphi=\Delta\varphi_0+\frac{2\pi}{\lambda}\Delta L.$$

若已把半波损失计入 $\Delta L$： $$\Delta L=k\lambda\quad(相长),\qquad \Delta L=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad(相消).$$

【半波损失】光从光疏介质射向光密介质，在界面反射时相位突变 $\pi$，等效附加光程差 $\lambda/2$。两束光都有或都没有半波损失时相互抵消；只有一束有时必须计入。

3.2 杨氏双缝干涉

设双缝间距 $d$，缝屏距 $D$，屏上坐标 $x$： $$\Delta L=d\sin\theta\approx\frac dD x.$$

$$x_k^{(明)}=\frac{kD\lambda}{d},\qquad x_k^{(暗)}=\frac{(2k+1)D\lambda}{2d}.$$

相邻明纹或相邻暗纹间距： $$\Delta x=\frac{D\lambda}{d}.$$

【易错】$\Delta L=(d/D)x$ 是光程差；$\Delta x=D\lambda/d$ 是屏上条纹间距。

3.3 薄膜干涉：等厚与等倾

通用动作：先画两束相干光，再逐界面判断半波损失，最后写总光程差。

垂直入射、反射观察、仅一次半波损失： $$\Delta L=2nd+\frac{\lambda}{2}.$$ 若无半波损失或两次相互抵消： $$\Delta L=2nd.$$

若题目问“反射加强的最小非零厚度”，在仅一次半波损失时： $$2nd+\frac{\lambda}{2}=k\lambda \Rightarrow d_{\min}=\frac{\lambda}{4n}.$$

• 等厚干涉：入射角近似固定，厚度相同处光程差相同；劈尖、牛顿环属于此类。
• 等倾干涉：膜厚固定，入射倾角相同的光属于同一级条纹，常表现为同心圆环。

3.4 劈尖干涉

反射观察、一次半波损失： $$\Delta L=2nd+\frac{\lambda}{2}.$$ 相邻同色条纹的厚度差： $$\Delta d=\frac{\lambda}{2n}.$$ 若劈尖角 $\theta\ll1$： $$\Delta l=\frac{\Delta d}{\sin\theta}\approx\frac{\lambda}{2n\theta}.$$

3.5 牛顿环

薄膜厚度与半径： $$d\approx\frac{r^2}{2R}.$$

反射暗环： $$r_k=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}},\qquad k=0,1,2,\ldots$$

反射明环： $$r_k=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}},\qquad k=1,2,\ldots$$

【易错】空气膜反射观察，接触良好时中心 $d=0$，但因半波损失而为暗斑。填入 $n>1$ 的液体后环半径减小、条纹变密。

3.6 迈克耳孙干涉仪

反射镜移动 $\Delta d$： $$\Delta L=2\Delta d.$$ 条纹移动 $N$ 条： $$2\Delta d=N\lambda.$$ 一臂插入厚度为 $d$、折射率为 $n$ 的薄片： $$\Delta L=2(n-1)d.$$

【易错】因光往返两次，移镜与插片都带因子 2。

4. 光的衍射

4.1 夫琅禾费衍射与透镜

夫琅禾费衍射要求入射光与衍射光都可看成平行光。透镜把同一衍射角方向的平行光会聚到焦平面；焦距 $f$ 只负责把角位置换成线位置。

4.2 单缝夫琅禾费衍射

缝宽 $a$，边缘光程差： $$\Delta L=a\sin\theta.$$

暗纹中心（精确）： $$a\sin\theta=k\lambda,\qquad k=1,2,\ldots$$

次级明纹中心（近似）： $$a\sin\theta\approx(2k+1)\frac{\lambda}{2},\qquad k=1,2,\ldots$$

中央明纹角宽度： $$\Delta\theta_0\approx\frac{2\lambda}{a}.$$ 焦平面上线宽度： $$\Delta x_0=\frac{2f\lambda}{a}.$$ 其他明纹宽度约为： $$\Delta x_{其他}\approx\frac{f\lambda}{a}.$$

【易错】单缝的 $a\sin\theta=k\lambda$ 是暗纹条件，不是明纹条件。

4.3 圆孔衍射与瑞利判据

圆孔直径 $D$，艾里斑半角宽度： $$\Delta\theta=1.22\frac{\lambda}{D}.$$ 两点光源恰能分辨时： $$\delta\theta_{\min}=1.22\frac{\lambda}{D}.$$ 分辨本领： $$R=\frac{1}{\delta\theta_{\min}}=\frac{D}{1.22\lambda}.$$

结论：口径越大、波长越短，分辨本领越强。

4.4 衍射光栅

透光宽度 $a$，不透光宽度 $b$，光栅常量： $$d=a+b.$$

正入射主极大： $$d\sin\theta=k\lambda, \qquad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$$

斜入射： $$d(\sin i\pm\sin\varphi)=k\lambda.$$ 入射光、衍射光在法线两侧取加号；在法线同侧取减号。

$N$ 缝光栅相邻主极大之间有 $N-1$ 条暗纹、$N-2$ 条次级明纹。主极大半角宽度近似： $$\Delta\theta\approx\frac{\lambda}{Nd\cos\theta}.$$

缺级条件：光栅主极大同时落在单缝暗纹上： $$\begin{cases} d\sin\theta=k\lambda,\\ a\sin\theta=k'\lambda, \end{cases} \Rightarrow k=\frac da k'.$$ 例如 $d/a=3$，则第 $3,6,9,\ldots$ 级缺级。

5. 光的偏振

5.1 偏振态辨认

两个相互垂直的分量可写成： $$E_x=E_{0x}\cos(kz-\omega t),\qquad E_y=E_{0y}\cos(kz-\omega t+\Delta\varphi).$$ 不同的振幅比与相位差决定偏振态。

5.2 马吕斯定律

自然光通过第一片理想偏振片： $$I=\frac{I_0}{2}.$$

线偏振光与偏振片透振方向夹角为 $\theta$： $$I=I_0\cos^2\theta.$$

多片偏振片： $$I_{出}=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta_{12}\cos^2\theta_{23}\cdots$$

【易错】后续每一步的夹角是“当前入射线偏振方向”和“下一片透振方向”的夹角，也就是相邻偏振片透振方向夹角。

5.3 布儒斯特定律

自然光从 $n_1$ 射向 $n_2$： $$\tan i_B=\frac{n_2}{n_1}.$$ 此时： $$i_B+r=90^\circ.$$

反射光为完全线偏振光，振动方向垂直于入射面；折射光仍为部分偏振光。

5.4 双折射、o 光与 e 光

二者都是线偏振光，偏振方向互相垂直；传播方向不一定垂直。沿晶体光轴传播时不发生双折射。

6. 量子物理

6.1 电子经电压加速

电子从静止经电压 $U$ 加速： $$\frac12mv^2=eU, \qquad v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}.$$

德布罗意波长： $$\lambda=\frac{h}{mv}=\frac{h}{\sqrt{2meU}}.$$

6.2 黑体辐射与能量子

$$M_0(T)=\sigma T^4\qquad(斯特藩\text{-}玻尔兹曼定律),$$ $$\lambda_mT=b\qquad(维恩位移定律),$$ $$E_n=nh\nu,\qquad \varepsilon=h\nu\qquad(普朗克能量子).$$

6.3 光电效应

单个光子能量： $$\varepsilon=h\nu=\frac{hc}{\lambda}.$$ 逸出功与红限： $$W=h\nu_0=\frac{hc}{\lambda_0}.$$ 爱因斯坦方程： $$h\nu=W+E_{k\max}=W+eU_0.$$

6.4 光子与康普顿效应

$$E=h\nu=\frac{hc}{\lambda},\qquad p=\frac{h}{\lambda}.$$

康普顿波长改变量： $$\Delta\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)=\lambda_c(1-\cos\theta).$$ 反向散射 $\theta=\pi$ 时： $$\Delta\lambda_{\max}=2\lambda_c.$$

6.5 玻尔氢原子模型

里德伯公式： $$\frac1\lambda=R\left(\frac1{m^2}-\frac1{n^2}\right),\qquad n>m.$$

角动量量子化： $$mvr_n=n\hbar.$$

氢原子能级： $$E_n=-\frac{13.6}{n^2}\,\mathrm{eV}.$$

从高能级 $n$ 跃迁到低能级 $m$： $$h\nu=E_n-E_m.$$

【易错】能级数值越接近 0，能量越高。放光是高到低，吸光是低到高。

6.6 德布罗意波、概率波与不确定关系

$$\lambda=\frac hp=\frac{h}{mv},\qquad \nu=\frac Eh.$$

物质波是概率波，波函数强度对应粒子在附近出现的概率密度；波函数应满足单值、有限、连续，并满足归一化。

$$\Delta x\,\Delta p_x\ge\frac{\hbar}{2}.$$ 数量级估算常写： $$\Delta x\,\Delta p\sim h.$$ 若 $p=h/\lambda$，则动量变化量的大小近似： $$|\Delta p|\approx\frac{h}{\lambda^2}|\Delta\lambda|.$$

7. 计算题模板

8. 高频易混

9. 常量与考前检查

最后 5 秒检查

• “最小厚度”：先判断半波损失，再取最小正厚度；
• “移动几条纹”：先检查是否存在往返因子 2；
• “自然光过偏振片”：第一片先变成 $I_0/2$；
• 原子物理保留 eV 可以，但代入 SI 公式必须换成 J；
• 介质中频率不变，$\lambda'=\lambda/n$。