定理、推论与教材证明路线

周民强《实变函数论》
考试范围内定理、推论与证明整理

按课程知识点重新编排，保留教材中的关键构造、集合分解、估计和证明顺序。

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8 个部分37 个专题82 条定理/推论项49 个折叠证明655 处公式

依据周民强《实变函数论》第 3 版，并按课程考试范围重新编排。证明部分保留教材的关键构造、集合分解、估计步骤和逻辑顺序；文字作了复习化重述，并非逐字影印。

记号：外测度记为 ，Lebesgue 测度记为 ，示性函数记为 ，几乎处处记为 a.e.。

第一部分　集合序列、映射、势与点集

1. 集合列的上限集与下限集

定义定义：上限集、下限集

设 是集合列，定义

若二者相等，就称集合列收敛，并把公共值记作 。

定理定理：点态刻画

  1. 当且仅当 属于无穷多个 ；
  2. 当且仅当存在 ，使 时恒有 ；
  3. 因而
证明

由定义，

意味着对每个 ，都存在 使 ，这恰好表示含有 的项不可能只有有限多个。

同理，

意味着至少存在一个 ，使 属于所有 （）。从某项以后恒属于，自然蕴含属于无穷多个，故得到包含关系。

推论推论：单调集合列

若 ，则

若 ，则

推论推论：示性函数公式

逐点考察 ，得到

特别地，

2. 一一对应与 Cantor–Bernstein 定理

定理定理：Cantor–Bernstein

若存在单射

则 与 等势。

证明

从 中先取出不属于 的部分：

递归定义

定义映射 ：

在 上， 为单射；在 上，由构造可知每个点都属于 ，故 有定义。两部分的像分别落在互不冲突的两部分中，可以验证 既单又满，因此是双射。

常用证明策略

要证明 ，可采用：

  1. 直接写出双射；
  2. 分块后分别建立双射；
  3. 分别构造 和 ，再用 Cantor–Bernstein。

3. 可列集与连续统势

定理定理：可列个可列集的并仍至多可列

若每个 至多可列，则

仍至多可列。

证明

把每个集合排成一列

将所有元素放入二维表，按

的对角线次序枚举，重复元素只保留第一次出现，即得到并集的枚举。

定理定理：无限集与真子集等势

集合 为无限集，当且仅当 与它的某个真子集等势。

证明

若 无限，取互异序列 ，定义

其余点保持不动，便得到 到 的双射。反之，有限集不可能与真子集等势。

定理定理：Cantor 对角线论证

区间 不可列。

证明

把每个数用二进制展开，并约定统一采用不以无穷多个 结尾的表示。若所有数可列，可排成

构造

则 与第 个数在第 位不同，所以 不在原枚举中，矛盾。

定理定理：无最大基数

任一集合 都不与幂集 等势，并且

证明

映射 给出 。若存在满射 ，令

若 ，则

矛盾。因此不存在满射，更不可能存在双射。

4. 开集、闭集与紧集

定理定理：闭集的序列刻画

为闭集，当且仅当

定理定理：闭集运算

  1. 有限个闭集的并是闭集；
  2. 任意族闭集的交是闭集。

其对偶结论是：任意族开集的并为开集，有限个开集的交为开集。

定理定理：Cantor 闭集套定理

若

为非空有界闭集列，则

证明

从每个 中取 。序列有界，故有收敛子列 。固定 ，当 时，。因 闭，故 。对所有 成立，于是 。

定理定理：直线上开集的结构

中任一非空开集都可唯一表示为至多可列个两两不交开区间的并。

证明

对 ，令 为所有含 且包含在 中的开区间之并。则 本身是开区间；若 ，二者必相等。每个非空开区间包含有理数，而不同分支互不相交，可为每个分支选一个不同有理数，因此分支至多可列。

定理定理：Heine–Borel

在 中，

紧有界且闭

证明路线

有界闭集的开覆盖先利用可数基化为可列子覆盖。若无有限子覆盖，令

则 为非空有界闭集且递减，闭集套定理给出 ，与覆盖性矛盾。

第二部分　外测度、可测集与 Lebesgue 测度

5. Lebesgue 外测度

定义定义

对 ，定义

其中 为开区间。

定理定理：外测度的基本性质

  1. ，且 ；
  2. 若 ，则
  3. 可数次可加性：
证明可数次可加性

给定 ，为每个 取区间覆盖 ，使

所有 合起来覆盖 ，所以

令 。

推论推论：可数集为零测集

单点集外测度为零，再用可数次可加性，得到任一至多可列集的外测度均为零。

定理定理：距离可加性

若 ，则

证明路线

取直径小于 的精细区间覆盖。每个区间不可能同时碰到 和 ，故覆盖可分成两组，分别覆盖两个集合。总长度至少为两外测度之和，再结合次可加性即得等号。

6. Carathéodory 可测性

定义定义

集合 称为 Lebesgue 可测集，若对任意 ，

由于“”总由次可加性成立，证明可测性时只需证明

推论推论：零外测集可测

若 ，则

故 可测。

定理定理：可测集构成 -代数

设 为可测集全体，则：

  1. ；
  2. ；
  3. 对有限并、交、差封闭；
  4. 对可数并封闭；
  5. 若 两两不交，则
证明

补集封闭性由定义的对称性立即得到。

对两个可测集 ，先用 切分 ，再在 内用 切分，得到

前两块的并为 ，由次可加性得到并集的 Carathéodory 条件。

对两两不交的 ，令

反复应用有限切分，对任意 有

因 ，令 ，得到 可测。令 ，便得到可数可加性。一般可数并通过不交化

化为两两不交情形。

7. 测度的连续性

定理定理：从下连续

若 ，则

证明

令

则

由可数可加性，

推论推论：从上连续

若 ，且 ，则

证明

令 ，则 。由从下连续性，

因 ，可以相减整理。

推论推论：集合版 Fatou

对任意可测集列，

证明

令

则 ，且对 有 ，因此

令 。

8. 可测集的正则性

定理定理：开集外逼近与闭集内逼近

若 可测，则对任意 ：

  1. 存在开集 ，使
  2. 存在闭集 ，使
证明

有限测度时，由外测度定义取开区间覆盖 ，总长度小于 。其并 为开集，且

无限测度时令 ，分别取开集 ，满足

再令 。闭集内逼近由对 作开集外逼近并取补集得到。

定理定理：Borel 集加减零测集

每个 Lebesgue 可测集 都可写为

其中 为 集，；也可写为

其中 为 集，。

证明

取开集 ，使 ，令

则 ，且对每个 ，

故 。另一式同理。

第三部分　可测函数与函数列收敛

9. 可测函数的等价刻画

定义定义

设 。若对每个 ，集合

可测，则称 可测。

定理定理：阈值集合的等价刻画

下列任一条件对所有实数 成立，都等价于 可测：

均可测。

证明

例如

而

其余类似。

定理定理：可测函数对代数运算封闭

若 可测，则在有意义处

均可测。

证明要点

对加法，利用有理数的可数性：

乘积可由

得到；最大值和最小值可由

得到。

定理定理：上确界、下确界与极限可测

若 可测，则

均可测。若 点态，则 可测。

证明

例如

且

10. 简单函数逼近定理

定理定理

若 可测，则存在非负可测简单函数 ，使

若 有界，还可以做到一致收敛。

证明

按步长 对值域分层，并在高度 处截断：

各层集合可测，所以 是简单可测函数。由构造可验证 ，并且对每个有限值点 ，当 足够大时，

故 。

推论推论

一般实值可测函数可写成简单函数列的点态极限。对 和 分别逼近后相减即可。

11. 三种收敛

定义定义：几乎处处收敛

存在零测集 ，使

定义定义：依测度收敛

对每个 ，

定义定义： 收敛

对 ，若

则称 于 。

定理定理： 收敛推出依测度收敛

证明

由 Chebyshev 不等式，

定理定理：有限测度空间上 a.e. 收敛推出依测度收敛

若 且 a.e.，则 依测度。

证明

固定 ，令

则 ，其中 包含在不收敛点集内，故 。由从上连续性，，而

定理定理：依测度极限唯一

若 同时依测度收敛于 与 ，则 a.e.

证明

对任意 ，

令 ，左端测度为零。再令 并取可数并，得到 。

定理定理：Riesz 子列定理

若 依测度，则存在子列 a.e.

证明

抽取子列满足

令

因为 ，集合版 Borel–Cantelli 结论给出

因此几乎每个点只属于有限多个 。对这样的点，充分大 时

故子列几乎处处收敛。

关系关系图

在有限测度空间上：

收敛依测度收敛

收敛依测度收敛

依测度收敛存在收敛子列

反方向一般不成立。

12. Egorov 定理

定理定理

若 ，且 a.e. 于 ，则对任意 ，存在可测集 ，满足

并且 在 上一致。

证明

对正整数 ，令

固定 时，，其中 包含于不收敛点集，故 。由从上连续性，可为每个 选 ，使

令

则 。给定 ，选 使 。当 且 时，

因此一致收敛。

13. 鲁津定理

定理定理

若 是可测集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意 ，存在闭集 ，使

且 连续。

证明

第一步：简单函数。 设

对每个 取闭集 ，使

令 。有限并闭，且各 彼此分离， 在每个 上为常数，所以 连续。

第二步：有界可测函数。 取简单函数 一致。对每个 取闭集 ，使

且 连续。令

则 。在 上， 连续且一致收敛到 ，故 连续。

第三步：一般有限值函数。 令

先对有界函数 应用第二步，再由反变换的连续性得到 连续。

推论推论：连续函数近似

对任意 ，存在全空间上的连续函数 ，使

若 有界，可令 具有紧支集。

第四部分　Lebesgue 积分与极限定理

14. Lebesgue 积分的定义

非负简单函数

若

且 两两不交，定义

非负可测函数

定义

为简单可测函数

一般实值函数

写

若 与 至少一个有限，可定义

若二者都有限，则称 。

基本性质

适当条件下：

若 a.e.，则两者积分相同；若 ，则

15. Levi 单调收敛定理

定理定理

若

则

证明

由 ，先有

为证反向不等式，任取简单函数 和常数 ，令

由 ，有 。于是

简单函数积分对递增集合连续，所以

先令 ，再对所有 取上确界，得到

推论推论：非负函数级数逐项积分

若 可测，则

令部分和 ，应用 Levi 即可。

16. Fatou 引理

定理定理

若 可测，则

证明

令

则

由 Levi，

而对所有 ，，故

令 。

推论推论：反向 Fatou 型不等式

若存在 使 ，则对 用 Fatou，得到

17. 积分的绝对连续性

定理定理

若 ，则对每个 ，存在 ，使可测集 满足 时，

证明

不妨设 。由积分定义，选简单函数 ，使

设 ，取

若 ，则

18. 控制收敛定理

定理定理

若 a.e.，且存在 使

则 ，并且

证明

由极限可知 a.e.，所以 。令

则

对非负函数 使用 Fatou：

右端等于

消去有限量 ，得

因此 。最后

定理定理：依测度版本

若 依测度，且 ，则仍有

证明

若结论不成立，可取子列使

由 Riesz 子列定理，从此子列再抽取 a.e. 收敛子列；对该子列应用通常的控制收敛定理，积分必须趋零，矛盾。

19. 三大极限定理的联系

Levi 推出 Fatou

取

用 Levi，再利用 。

Fatou 推出控制收敛

对

使用 Fatou，即得 。

Fatou 推出 Levi

若 ，由 Fatou，

另一方面 ，故

两边夹逼。

20. 积分形式的鲁津定理

定理定理

若 ，则对任意 ，存在具有紧支集的连续函数 ，使

证明

先取具有紧支集的简单函数 ，使

设 。由鲁津定理的连续近似推论，取紧支撑连续函数 ，可令 ，且

于是

由三角不等式，

第五部分　Riemann 积分与 Fubini 定理

21. Lebesgue 判别准则

定理定理

有界函数 Riemann 可积，当且仅当它的间断点集为零测集。此时 Lebesgue 可积，且两种积分相等。

证明

设 为 在 点的振幅。则

在连续

取网格趋零的分划，构造小区间上振幅组成的阶梯函数 。除分点构成的可数集外，

由控制收敛，

而 正是对应 Darboux 上和与下和之差，因此

Riemann 可积等价于右端为零，也等价于 a.e.，即间断点集为零测集。

两种积分相等可由小区间上的上下阶梯函数夹住 ，再用积分单调性和 Darboux 上下和夹逼得到。

核心核心区别

  1. Riemann 积分按定义域分割；Lebesgue 积分按函数值分层；
  2. 闭区间上的 Riemann 可积函数必 Lebesgue 可积，积分相同；
  3. Lebesgue 可积函数类更大，且允许忽略零测集上的修改；
  4. Lebesgue 极限定理允许在远弱于一致收敛的条件下交换极限和积分。

22. Tonelli 定理

定理定理

若 在 上可测，则

交换 也成立，允许积分值为 。

证明结构
  1. 先对矩体示性函数 直接计算；
  2. 推广到非负简单函数；
  3. 对一般非负可测函数取简单函数 ；
  4. 分别对重积分和累次积分使用 Levi 定理。

更细致的教材路线会先处理开集、闭集、有限测度可测集和一般可测集的示性函数，再推广到简单函数和一般非负可测函数。

23. Fubini 定理

定理定理

若 ，则对几乎所有 ，，且

两个次序的累次积分都绝对收敛并相等。

证明

对 与 分别使用 Tonelli。因为

两部分的累次积分均有限 a.e.，于是可以相减：

推论推论：卷积可积

若 ，定义

则 ，且

证明

由 Tonelli 和平移不变性，

第六部分　单调函数、有界变差与绝对连续

24. Vitali 覆盖定理

定义定义

区间族 是 的 Vitali 覆盖，若对每个 和每个 ，存在 ，使

定理定理

若 ， 是 的 Vitali 覆盖，则对任意 ，可选有限个两两不交区间 ，使

证明路线
  1. 先把覆盖限制在一个有限测度开集内；
  2. 采用贪心法选取互不相交区间：每次选长度大于当前可选长度上确界一半的区间；
  3. 所选区间总长度有限，因此尾和可任意小；
  4. 余集中的每个点属于某个很小候选区间，该区间必与某个尾部已选区间相交；
  5. 将尾部区间同心扩大五倍即可覆盖余集；
  6. 五倍区间长度总和由尾和控制，于是余集外测度小于 。

25. 单调函数几乎处处可微

定理定理

若 在 上递增，则

并且

证明结构

第一部分：证明四个 Dini 导数 a.e. 相等。

例如考虑

用 构造左区间的 Vitali 覆盖，使区间上的函数增量小于 乘区间长度；再用 在内部构造右区间覆盖，使函数增量大于 乘区间长度。由于 递增，后一组区间的总增量不能超过前一组。Vitali 选取后得到

因 ，故 。对所有有理数对取可数并，得到 Dini 导数几乎处处一致。

第二部分：证明导数可积。

把 在 右侧常值延拓，定义

在可微点 。由 Fatou，

而

故导数可积，并得到所需估计。

26. 有界变差函数与 Jordan 分解

定义定义

对分划

令

全变差为

若 ，称 。

定理定理：变差的区间可加性

若 ，则

证明

任意 分划中补入点 ，变差和不减，且补入后分成两段，得到“”。反过来，分别取两段上接近各自上确界的分划并合并，得到“”。

定理定理：Jordan 分解

其中 为递增函数。

证明

若 ，令

并定义

对 ，有

所以 均递增，且 。

反之，若 ，对任意分划，

故变差有限。

推论推论

BV 函数几乎处处可微，并且

由 Jordan 分解和单调函数可微定理立即得到。

27. 不定积分的求导

定理定理

若 ，令

则

证明路线

差商为

先证明局部平均在 中收敛于 ：

这是由 平移连续性

和 Fubini 定理得到的。另一方面， 作为绝对连续函数属于 BV，故 a.e. 可微；在可微点差商趋于 。 收敛推出依测度收敛，而 a.e. 极限与依测度极限具有唯一性，因此 a.e.

推论推论：Lebesgue 点

对 ，几乎每个 满足

28. 绝对连续函数

定义定义

函数 称为绝对连续，若对任意 ，存在 ，使任意有限个两两不交区间 满足

时，都有

关系基本关系

可微

逆向一般不成立。

定理定理：变上限积分绝对连续

若 ，则

绝对连续。

证明

由积分的绝对连续性，对给定 ，取 ，使 时

若互不相交区间总长度小于 ，则

定理定理：绝对连续函数属于 BV

证明

在绝对连续定义中取 ，得到某个 。选固定分划

任一分划在每个小段 内的区间总长度小于 ，故该小段内函数增量绝对值之和小于 。共有 段，所以任意分划的变差和不超过 ，即

推论推论

绝对连续函数几乎处处可微，且

29. 导数几乎处处为零推出常数

定理定理

若 ，且

则 为常数。

证明路线

反设 不是常数。可证明存在固定 ，使对任意 ，都能找到有限个互不相交区间，总长度小于 ，但函数增量绝对值总和大于 。

这一结论利用 的点构造任意短、斜率极小的 Vitali 区间，再用 Vitali 覆盖定理抽取有限不交区间；总变化不能全由这些小斜率区间承担，于是剩余空隙产生固定大小的函数增量，而空隙总长度可任意小。这与绝对连续定义矛盾。

仅有连续或 BV 条件时，结论不成立；Cantor 函数是经典反例。

30. Newton–Leibniz 公式

定理定理

若 ，则

证明

由前述结论，。定义

则 ，且

令

则 ，且 a.e.，所以 为常数。由 ，得到

充要条件形式

函数 可以表示为

当且仅当 。此时

全变差公式

若 ，则

证明

一般 BV 结论给出

反之，对任意分划，Newton–Leibniz 公式给出

求和并对分划取上确界。

第七部分　正文定理直接导出的考试型推论

31. 单调函数的等号条件推出绝对连续

设 在 上单调增加，且

令

由单调函数定理，对任意 ，

故

所以 单调增加。又

递增函数首尾相等，只能为常数，因此 是绝对连续函数。单调减少情形对 应用此结论。

32. BV 函数满足变差等号时绝对连续

设 且

作标准 Jordan 分解

其中 递增，并满足

在共同可微点，，且 ，所以

于是

题设说明首尾相等，因此中间每一步都必须取等号，尤其

由上一节的单调函数等号判别， 均绝对连续，因此 绝对连续。

33. 单调增加绝对连续函数级数

设 在 上单调增加且绝对连续，并且级数

在 上处处收敛，记和函数为 。则 绝对连续。

证明

每个 a.e.，且

由 Levi，

取 可知

于是

故 绝对连续。

34. 鲁津定理的逆向形式

若对每个 ，都存在闭集 ，满足

且 连续，则 是 上的 Lebesgue 可测函数。

证明

取闭集 ，使

令

每个 是有限闭集并，且 连续，故可测。又

对每个 成立，所以 。在 上， 是可测函数的相容拼接；在零测集上任意修改不影响可测性，因此 可测。

第八部分　考前索引

35. 必须能完整叙述的定义

  1. 、；
  2. 单射、满射、双射、等势、势；
  3. 开集、闭集、紧集；
  4. Lebesgue 外测度与 Carathéodory 可测集；
  5. 可测函数；
  6. a.e. 收敛、依测度收敛、 收敛；
  7. Lebesgue 积分的三层定义；
  8. BV 与全变差；
  9. 绝对连续函数。

36. 必须能默写证明主线的定理

  1. 集合上下极限的点态刻画；
  2. Cantor–Bernstein；
  3. 外测度的可数次可加性；
  4. 可测集构成 -代数；
  5. 测度从下、从上连续；
  6. 开集外逼近、闭集内逼近；
  7. 简单函数单调逼近；
  8. Egorov、Riesz、鲁津；
  9. Levi、Fatou、控制收敛；
  10. 积分的绝对连续性；
  11. Tonelli、Fubini；
  12. 单调函数几乎处处可微；
  13. Jordan 分解；
  14. 变上限积分几乎处处求导；
  15. 、导数为零推出常数；
  16. Newton–Leibniz 公式。

37. 最核心逻辑链

外测度可测集测度可测函数积分控制收敛单调函数可微函数可微不定积分常数