考试范围总览

本页只保留《考试范围》中明确列出的内容，并用期末复习课件补足必须使用的公式与答题步骤。

章节	考试内容
第一章抽样分布定理	极大值、极小值统计量；几个重要分布；多元正态分布；抽样分布定理；分位数
第二章参数估计	矩估计；极大似然估计；无偏性；C–R 下界；有效估计量；相合性；区间估计；Bayes 估计（2.5）
第三章假设检验	单个正态总体均值、方差检验；似然比检验；一致最优势检验（3.4）
第四章方差分析	单因素方差分析
第五章线性回归	线性模型；最小二乘估计及性质；回归系数检验；带约束线性回归模型

明确不考：一致最小方差无偏估计；充分性与完备性；寿命试验末尾的指数、几何分布参数估计；非参数检验；质量控制；双因素方差分析；正交试验设计。

第一章　抽样分布定理

1. 样本与基本统计量

设是总体的简单随机样本，即相互独立且与总体同分布。常用统计量为

统计量必须是样本的函数，且表达式中不含未知参数。

2. 极大值与极小值统计量

设总体分布函数为，密度为，顺序统计量为

最大值和最小值的分布函数、密度为

求数字特征的固定路线：

$先求分布函数求密度$

3. 常见分布与 Gamma 积分

Gamma 分布采用“形状–率”参数化：

常用积分：

分布	期望	方差	高频性质
			独立和为
			同一下独立二项可加
			独立泊松变量之和仍为泊松
			独立和与 Gamma 分布有关
			支持集依参数时 MLE 常由边界确定
			独立正态变量线性组合仍正态

4. 、、分布的构成

若，则

若、且二者独立，则

其中

5. 多元正态分布与二次型

若，则

多元正态情形下，两个线性型协方差为当且仅当它们相互独立。

若，且，则

若均为对称幂等阵且，则

$与$

相互独立。在线性回归和方差分析中，独立性通常来自投影子空间正交。

6. 正态总体抽样分布定理

若

则

若总体均值已知，则

自由度区别：使用未知均值的估计量后损失个自由度。

7. 分位数记号

本页采用课件记号：

常用关系：

第二章　参数估计

8. 矩估计

设参数为。总体原点矩

与样本原点矩

对应，解方程

参数有几个，通常列几个独立矩方程；若一阶矩不含参数，则改用更高阶矩。

9. 极大似然估计

似然函数与对数似然为

标准步骤：写 → 取对数 → 解似然方程 → 检查参数范围、端点和最大性。

若支持集依赖参数，不能只机械求导；应先写出参数必须满足的样本约束，再利用单调性确定估计量，常出现或。

10. 无偏性

估计量估计。若

则称为的无偏估计量。同为无偏估计时，可以比较方差，方差较小者更有效。

11. Cramér–Rao 下界与有效估计量

单个观测的 Fisher 信息量为

在正则条件下，的任一无偏估计量满足

等号成立的常用判据是

达到 C–R 下界的无偏估计量称为有效估计量。

注意：密度的支持集依赖参数时，正则条件往往失效，不能机械套用 C–R 不等式。

12. 相合性

估计量列若满足

则称其为的相合估计量。常用充分条件：

若且连续，则

13. 区间估计：枢轴量法

构造含待估参数、但分布不含未知参数的枢轴量，取概率的区间后反解参数。

若，则四种基本情形为：

待估参数	条件	枢轴量	置信区间
	已知
	未知
	已知
	未知

其中

对单调函数，在参数区间端点上作单调变换；若递减，端点顺序交换。

14. Bayes 估计

先验密度为，后验密度为

平方损失下的 Bayes 估计为后验均值：

绝对损失取后验中位数；最大后验估计取后验密度最大点。

常见共轭更新

若，且，记，则

若，且，则

若，已知，且，则

平方损失下；可信度为的等尾区间为

第三章　假设检验

15. 基本概念、两类错误与功效函数

检验

拒绝域为，非随机化检验函数为。功效函数为

$拒绝$

当时，是第一类错误概率；当时，。显著性水平要求

值是不拒绝当前样本所需的最小显著性水平；当时拒绝。

16. 单个正态总体均值、方差检验

统一步骤：写 → 选统计量 → 写下分布 → 写拒绝域 → 代入样本并下结论。

检验对象	条件	在边界原假设下的统计量
	已知
	未知
	已知
	未知

若统计量分布函数的分位数记为，则

备择假设	拒绝域


	或

对称的分布，双侧拒绝域也可写成绝对值形式。结论应写“拒绝 ”或“不能拒绝 ”，不能写“接受 ”。

17. 似然比检验

广义似然比统计量为

越小，样本越不支持，因此拒绝域取为

常将它化成某个统计量的单侧或双侧临界域，再由下的精确分布确定。

18. N–P 引理与一致最优势检验

对简单假设

水平为的最优势检验按似然比

从大到小排列。固定流程：

$似然比判断单调性或$

离散型分布中若无法恰好达到水平，在边界点以概率拒绝。

若同一个水平的检验对每个都是最优势的，则称为一致最优势（UMP）检验。具有单调似然比的单参数族，对单侧假设通常由同一统计量的单侧临界域得到 UMP 检验。

第四章　单因素方差分析

19. 模型、条件与假设

因素有个水平，第个水平有个观测，总样本量。模型为

其中

适用条件：正态性、等方差性、独立性。检验

记

20. 离差平方和分解

表示组间差异，表示组内随机误差。

21. 检验与方差分析表

在成立时，

因此

拒绝域为

来源	平方和	自由度	均方
因素
误差
总和

第五章　线性回归模型

22. 线性模型与最小二乘估计

多元线性模型为

其中，是设计矩阵，并要求

最小化

得到正规方程

故

令

则

均为对称幂等阵，，且

23. 最小二乘估计的性质

在 Gauss–Markov 条件下，

Gauss–Markov 定理：是的最小方差线性无偏估计（BLUE）。

若进一步有

则

24. 一元线性回归公式

模型为

记

则

因此时不相关；在联合正态下进一步相互独立。

25. 回归平方和分解与总体显著性检验

检验回归方程总体显著性：

$不全为$

在下